3.108 \(\int \frac{\sqrt{a+b x} \left (A+B x+C x^2\right )}{\sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=528 \[ -\frac{2 \sqrt{a d-b c} (b e-a f) \sqrt{\frac{b (c+d x)}{b c-a d}} \sqrt{\frac{b (e+f x)}{b e-a f}} \left (a C d f (d e-c f)-b \left (5 d f (-3 A d f+B c f+2 B d e)-C \left (4 c^2 f^2+3 c d e f+8 d^2 e^2\right )\right )\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d} \sqrt{a+b x}}{\sqrt{a d-b c}}\right )|\frac{(b c-a d) f}{d (b e-a f)}\right )}{15 b^2 d^{5/2} f^3 \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x}}-\frac{2 \sqrt{e+f x} \sqrt{a d-b c} \sqrt{\frac{b (c+d x)}{b c-a d}} (3 b d f (a c C f+a C d e-5 A b d f+3 b c C e)+(a d f-2 b (c f+d e)) (2 a C d f-b (5 B d f-4 C (c f+d e)))) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d} \sqrt{a+b x}}{\sqrt{a d-b c}}\right )|\frac{(b c-a d) f}{d (b e-a f)}\right )}{15 b^2 d^{5/2} f^3 \sqrt{c+d x} \sqrt{\frac{b (e+f x)}{b e-a f}}}-\frac{2 \sqrt{a+b x} \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} (2 a C d f-b (5 B d f-4 C (c f+d e)))}{15 b d^2 f^2}+\frac{2 C (a+b x)^{3/2} \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x}}{5 b d f} \]

[Out]

(-2*(2*a*C*d*f - b*(5*B*d*f - 4*C*(d*e + c*f)))*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt
[e + f*x])/(15*b*d^2*f^2) + (2*C*(a + b*x)^(3/2)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x])/(5
*b*d*f) - (2*Sqrt[-(b*c) + a*d]*(3*b*d*f*(3*b*c*C*e + a*C*d*e + a*c*C*f - 5*A*b*
d*f) + (a*d*f - 2*b*(d*e + c*f))*(2*a*C*d*f - b*(5*B*d*f - 4*C*(d*e + c*f))))*Sq
rt[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)]*Sqrt[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b
*x])/Sqrt[-(b*c) + a*d]], ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))])/(15*b^2*d^(5/2)*f^3*
Sqrt[c + d*x]*Sqrt[(b*(e + f*x))/(b*e - a*f)]) - (2*Sqrt[-(b*c) + a*d]*(b*e - a*
f)*(a*C*d*f*(d*e - c*f) - b*(5*d*f*(2*B*d*e + B*c*f - 3*A*d*f) - C*(8*d^2*e^2 +
3*c*d*e*f + 4*c^2*f^2)))*Sqrt[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)]*Sqrt[(b*(e + f*x))/(b*e
- a*f)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*x])/Sqrt[-(b*c) + a*d]], ((b*c - a
*d)*f)/(d*(b*e - a*f))])/(15*b^2*d^(5/2)*f^3*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x])

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.93789, antiderivative size = 524, normalized size of antiderivative = 0.99, number of steps used = 8, number of rules used = 7, integrand size = 38, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.184 \[ -\frac{2 \sqrt{a d-b c} (b e-a f) \sqrt{\frac{b (c+d x)}{b c-a d}} \sqrt{\frac{b (e+f x)}{b e-a f}} \left (a C d f (d e-c f)+5 b d f (3 A d f-B (c f+2 d e))+b C \left (4 c^2 f^2+3 c d e f+8 d^2 e^2\right )\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d} \sqrt{a+b x}}{\sqrt{a d-b c}}\right )|\frac{(b c-a d) f}{d (b e-a f)}\right )}{15 b^2 d^{5/2} f^3 \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x}}-\frac{2 \sqrt{e+f x} \sqrt{a d-b c} \sqrt{\frac{b (c+d x)}{b c-a d}} (3 b d f (a c C f+a C d e-5 A b d f+3 b c C e)-(a d f-2 b (c f+d e)) (-2 a C d f+5 b B d f-4 b C (c f+d e))) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d} \sqrt{a+b x}}{\sqrt{a d-b c}}\right )|\frac{(b c-a d) f}{d (b e-a f)}\right )}{15 b^2 d^{5/2} f^3 \sqrt{c+d x} \sqrt{\frac{b (e+f x)}{b e-a f}}}+\frac{2 \sqrt{a+b x} \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x} (-2 a C d f+5 b B d f-4 b C (c f+d e))}{15 b d^2 f^2}+\frac{2 C (a+b x)^{3/2} \sqrt{c+d x} \sqrt{e+f x}}{5 b d f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[(Sqrt[a + b*x]*(A + B*x + C*x^2))/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]),x]

[Out]

(2*(5*b*B*d*f - 2*a*C*d*f - 4*b*C*(d*e + c*f))*Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[
e + f*x])/(15*b*d^2*f^2) + (2*C*(a + b*x)^(3/2)*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x])/(5*
b*d*f) - (2*Sqrt[-(b*c) + a*d]*(3*b*d*f*(3*b*c*C*e + a*C*d*e + a*c*C*f - 5*A*b*d
*f) - (a*d*f - 2*b*(d*e + c*f))*(5*b*B*d*f - 2*a*C*d*f - 4*b*C*(d*e + c*f)))*Sqr
t[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)]*Sqrt[e + f*x]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*
x])/Sqrt[-(b*c) + a*d]], ((b*c - a*d)*f)/(d*(b*e - a*f))])/(15*b^2*d^(5/2)*f^3*S
qrt[c + d*x]*Sqrt[(b*(e + f*x))/(b*e - a*f)]) - (2*Sqrt[-(b*c) + a*d]*(b*e - a*f
)*(a*C*d*f*(d*e - c*f) + b*C*(8*d^2*e^2 + 3*c*d*e*f + 4*c^2*f^2) + 5*b*d*f*(3*A*
d*f - B*(2*d*e + c*f)))*Sqrt[(b*(c + d*x))/(b*c - a*d)]*Sqrt[(b*(e + f*x))/(b*e
- a*f)]*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[d]*Sqrt[a + b*x])/Sqrt[-(b*c) + a*d]], ((b*c - a*
d)*f)/(d*(b*e - a*f))])/(15*b^2*d^(5/2)*f^3*Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x])

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((b*x+a)**(1/2)*(C*x**2+B*x+A)/(d*x+c)**(1/2)/(f*x+e)**(1/2),x)

[Out]

Timed out

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 15.704, size = 3657, normalized size = 6.93 \[ \text{Result too large to show} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[(Sqrt[a + b*x]*(A + B*x + C*x^2))/(Sqrt[c + d*x]*Sqrt[e + f*x]),x]

[Out]

Sqrt[a + b*x]*Sqrt[c + d*x]*((2*(-4*b*C*d*e - 4*b*c*C*f + 5*b*B*d*f + a*C*d*f))/
(15*b*d^2*f^2) + (2*C*x)/(5*d*f))*Sqrt[e + f*x] - (2*(((-8*b^2*C*d^2*e^2 - 7*b^2
*c*C*d*e*f + 10*b^2*B*d^2*e*f + 3*a*b*C*d^2*e*f - 8*b^2*c^2*C*f^2 + 10*b^2*B*c*d
*f^2 + 3*a*b*c*C*d*f^2 - 15*A*b^2*d^2*f^2 - 5*a*b*B*d^2*f^2 + 2*a^2*C*d^2*f^2)*(
a + b*x)^(3/2)*(d + (b*c)/(a + b*x) - (a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e)/(a + b*x) - (a
*f)/(a + b*x)))/(d*f*Sqrt[c + ((a + b*x)*(d - (a*d)/(a + b*x)))/b]*Sqrt[e + ((a
+ b*x)*(f - (a*f)/(a + b*x)))/b]) + ((-(b*c) + a*d)*(-(b*e) + a*f)*(a + b*x)*Sqr
t[(d + (b*c)/(a + b*x) - (a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e)/(a + b*x) - (a*f)/(a + b*x)
)]*(((8*I)*b^2*C*d^2*e^2*f*Sqrt[1 - (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*
e) + a*f)/(f*(a + b*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a +
b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)] - EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b
*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)]))/(Sqrt[-(
(-(b*c) + a*d)/d)]*(-(b*e) + a*f)*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a
*f)/(a + b*x))]) + ((7*I)*b^2*c*C*d*e*f^2*Sqrt[1 - (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b*x))]
*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*
d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)] - EllipticF[I*ArcS
inh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)
*f)]))/(Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*(-(b*e) + a*f)*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x)
)*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))]) - ((10*I)*b^2*B*d^2*e*f^2*Sqrt[1 - (-(b*c) + a*d
)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[Sqr
t[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)] -
EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))
/((-(b*c) + a*d)*f)]))/(Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*(-(b*e) + a*f)*Sqrt[(d + (b*c
- a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))]) - ((3*I)*a*b*C*d^2*e*f^2*Sqrt[1
- (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x))]*(Elliptic
E[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c
) + a*d)*f)] - EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*
(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)]))/(Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*(-(b*e) + a*f)*
Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))]) + ((8*I)*b^2*c^2*
C*f^3*Sqrt[1 - (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x
))]*(EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) +
a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)] - EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a
+ b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)]))/(Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*(-
(b*e) + a*f)*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))]) - ((
10*I)*b^2*B*c*d*f^3*Sqrt[1 - (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*
f)/(f*(a + b*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]],
(d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)] - EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a
*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)]))/(Sqrt[-((-(b*c)
+ a*d)/d)]*(-(b*e) + a*f)*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a
+ b*x))]) - ((3*I)*a*b*c*C*d*f^3*Sqrt[1 - (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 -
(-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sq
rt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)] - EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[
-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)]))/(S
qrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*(-(b*e) + a*f)*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b
*e - a*f)/(a + b*x))]) + ((15*I)*A*b^2*d^2*f^3*Sqrt[1 - (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b
*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c)
+ a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)] - EllipticF[I
*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) +
a*d)*f)]))/(Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*(-(b*e) + a*f)*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a +
b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))]) + ((5*I)*a*b*B*d^2*f^3*Sqrt[1 - (-(b*c) + a
*d)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x))]*(EllipticE[I*ArcSinh[S
qrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)]
- EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f
))/((-(b*c) + a*d)*f)]))/(Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*(-(b*e) + a*f)*Sqrt[(d + (b*
c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))]) - ((2*I)*a^2*C*d^2*f^3*Sqrt[1
- (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x))]*(Elliptic
E[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c
) + a*d)*f)] - EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*
(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)]))/(Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*(-(b*e) + a*f)*
Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))]) - ((4*I)*b*C*d^2*
e*f*Sqrt[1 - (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x))
]*EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f
))/((-(b*c) + a*d)*f)])/(Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*
x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))]) - ((4*I)*b*c*C*d*f^2*Sqrt[1 - (-(b*c) + a*d)/(
d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x))]*EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[-(
(-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)])/(Sqrt
[-((-(b*c) + a*d)/d)]*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x
))]) + ((5*I)*b*B*d^2*f^2*Sqrt[1 - (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e
) + a*f)/(f*(a + b*x))]*EllipticF[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b
*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(b*c) + a*d)*f)])/(Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*Sqrt[(d
+ (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f + (b*e - a*f)/(a + b*x))]) - ((2*I)*a*C*d^2*f^2*Sqr
t[1 - (-(b*c) + a*d)/(d*(a + b*x))]*Sqrt[1 - (-(b*e) + a*f)/(f*(a + b*x))]*Ellip
ticF[I*ArcSinh[Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]/Sqrt[a + b*x]], (d*(-(b*e) + a*f))/((-(
b*c) + a*d)*f)])/(Sqrt[-((-(b*c) + a*d)/d)]*Sqrt[(d + (b*c - a*d)/(a + b*x))*(f
+ (b*e - a*f)/(a + b*x))])))/(d*f*Sqrt[c + ((a + b*x)*(d - (a*d)/(a + b*x)))/b]*
Sqrt[e + ((a + b*x)*(f - (a*f)/(a + b*x)))/b])))/(15*b^3*d^2*f^2)

_______________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.045, size = 6174, normalized size = 11.7 \[ \text{output too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((b*x+a)^(1/2)*(C*x^2+B*x+A)/(d*x+c)^(1/2)/(f*x+e)^(1/2),x)

[Out]

result too large to display

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (C x^{2} + B x + A\right )} \sqrt{b x + a}}{\sqrt{d x + c} \sqrt{f x + e}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((C*x^2 + B*x + A)*sqrt(b*x + a)/(sqrt(d*x + c)*sqrt(f*x + e)),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((C*x^2 + B*x + A)*sqrt(b*x + a)/(sqrt(d*x + c)*sqrt(f*x + e)), x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[{\rm integral}\left (\frac{{\left (C x^{2} + B x + A\right )} \sqrt{b x + a}}{\sqrt{d x + c} \sqrt{f x + e}}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((C*x^2 + B*x + A)*sqrt(b*x + a)/(sqrt(d*x + c)*sqrt(f*x + e)),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((C*x^2 + B*x + A)*sqrt(b*x + a)/(sqrt(d*x + c)*sqrt(f*x + e)), x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{\sqrt{a + b x} \left (A + B x + C x^{2}\right )}{\sqrt{c + d x} \sqrt{e + f x}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x+a)**(1/2)*(C*x**2+B*x+A)/(d*x+c)**(1/2)/(f*x+e)**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*x)*(A + B*x + C*x**2)/(sqrt(c + d*x)*sqrt(e + f*x)), x)

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (C x^{2} + B x + A\right )} \sqrt{b x + a}}{\sqrt{d x + c} \sqrt{f x + e}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((C*x^2 + B*x + A)*sqrt(b*x + a)/(sqrt(d*x + c)*sqrt(f*x + e)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((C*x^2 + B*x + A)*sqrt(b*x + a)/(sqrt(d*x + c)*sqrt(f*x + e)), x)